Normalteiler

Normalteiler sind im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete spezielle Untergruppen, sie heißen auch normale Untergruppen.

Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sie genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen sind. Diese Abbildungen zwischen Gruppen ermöglichen es, einzelne Aspekte der Struktur einer Gruppe zu isolieren, um sie an der Bildgruppe in Reinform leichter studieren zu können.

Die Bezeichnung „…teiler“ bezieht sich darauf, dass sich aus einer Gruppe ${\displaystyle G}$ und jedem ihrer Normalteiler ${\displaystyle N}$ eine Faktorgruppe ${\displaystyle G/N}$ bilden lässt. Diese Faktorgruppen sind homomorphe Bilder von ${\displaystyle G}$, und jedes homomorphe Bild von ${\displaystyle G}$ ist zu einer solchen Faktorgruppe ${\displaystyle G/N}$ isomorph.

Der französische Mathematiker Évariste Galois erkannte im 19. Jahrhundert als erster die Wichtigkeit des Konzeptes „Normalteiler“ für die Untersuchung nicht-kommutativer Gruppen. In seiner Theorie zur Lösung algebraischer Gleichungen, der so genannten Galoistheorie, ist die Existenz von Normalteilern einer Gruppe von Permutationen (Galoisgruppe) entscheidend für die Lösbarkeit der Gleichung durch Radikale.